D(X)与E(X)公式_期望与方差公式汇总

公式展示

E(X)=Σxᵢpᵢ(离散)或∫xf(x)dx(连续)，D(X)=E(X²)-[E(X)]²

期望与方差

类型	期望E(X)	方差D(X)
离散型	Σxᵢpᵢ	Σ(xᵢ-E(X))²pᵢ
连续型	∫xf(x)dx	∫(x-E(X))²f(x)dx

期望(均值)和方差是随机变量最重要的两个数字特征，分别描述平均水平和离散程度。

期望性质：E(aX+b)=aE(X)+b，E(X±Y)=E(X)±E(Y)，E(XY)=E(X)E(Y)(独立时)
方差性质：D(aX+b)=a²D(X)，D(X±Y)=D(X)+D(Y)(独立时)
常用分布：二项分布E=np,D=np(1-p)；泊松E=λ,D=λ；均匀E=(a+b)/2,D=(b-a)²/12；指数E=1/λ,D=1/λ²；正态E=μ,D=σ²
切比雪夫：P(|X-E(X)|≥ε)≤D(X)/ε²
D(X)=E(X²)-[E(X)]²是最常用的方差计算公式

例1：离散期望

X取值1,2,3，概率0.2,0.5,0.3。E(X)=0.2+1+0.9=2.1

例2：二项分布

X~B(10,0.3)，E(X)=3，D(X)=10×0.3×0.7=2.1

例3：方差计算

E(X)=2.1，E(X²)=0.2+2+2.7=4.9，D(X)=4.9-4.41=0.49

E(aX+b)=aE(X)+b

常数b直接加，系数a不平方(期望是线性的)。

D(aX+b)=a²D(X)

常数b不影响方差，系数a要平方。

D(X)=E(X²)-[E(X)]²

这个公式比定义式更常用，计算更简便。

期望和均值什么关系？

期望就是随机变量的均值(加权平均)。

常用分布的期望方差？

二项E=np,D=npq；泊松E=D=λ；正态E=μ,D=σ²。

方差为什么用E(X²)-[E(X)]²？

比定义式D(X)=E[(X-E(X))²]计算更简便。